Le jeu de la roulette, fascinant et captivant, a vu le jour à Paris aux alentours de l'année 1760 grâce à l'initiative de Sartines, un lieutenant de police, qui visait à encadrer et moraliser les jeux de hasard de l'époque. La roulette en elle-même, qui détermine le numéro gagnant, se compose de deux éléments essentiels : une partie fixe, la carcasse, et une partie mobile, le cylindre, qui s'intègre harmonieusement à la carcasse. Sur cette carcasse se trouve un axe central présentant une surface supérieure en forme de piste tronconique ornée de divers obstacles métalliques. Le cylindre, quant à lui, est un disque qui présente 37 cases sur sa périphérie et qui tourne avec aisance sur l'axe de la carcasse, où la circonférence de ce dernier vient délicatement effleurer le bas de la piste tronconique. Dans le cadre des équipements des casinos modernes, des vérifications régulières sont effectuées pour garantir l'horizontalité impeccable de cette machine emblématique.

À chaque tour de la roulette, un coup est lancé, consistant à faire tourner le cylindre dans une direction tout en lançant simultanément une bille, généralement en ivoire, dans la direction opposée sur la partie tronconique de la carcasse. Cette symétrie, l'équilibre inhérent au dispositif, et les mouvements inverses de la bille et du cylindre, conjugués aux divers obstacles, font que la roulette est véritablement une machine astucieuse à "générer le hasard". En effet, il est pratiquement impossible de prédire avec certitude le mouvement de la bille, car aucune case du cylindre ne bénéficie d'un traitement de faveur. Les cases, qui sont numérotées de 0 à 36, exigent une attention méticuleuse et une compréhension approfondie des règles et des enjeux.

Ces numéros présentent, à l'exception du zéro, trois caractéristiques distinctes :

1) Un numéro est désigné comme MANQUE s'il est inférieur à 19, tandis qu'il est classé PASSE dans le cas contraire.

2) Un numéro est qualifié de PAIR ou d'IMPAIR, avec la note importante que le zéro lui-même n'entre ni dans la catégorie PAIR ni dans la catégorie IMPAIR.

3) La couleur d'un numéro est déterminée comme étant ROUGE ou NOIR suivant des conventions établies.

Pour retrouver la couleur d'un numéro sans hésitation, la règle simple suivante peut être appliquée : si la somme des chiffres du numéro donne un résultat impair dans le cadre d'une division par 9, alors ce numéro est ROUGE, excepté pour les cas spécifiques des numéros 10 et 28 qui sont identifiés comme NOIRS. Si la somme est paire, tous les numéros sont alors NOIRS, sans exception aucune !

Analyse approfondie du jeu

En analysant la distribution des numéros sur la roulette, on constate qu'ils ont été répartis selon plusieurs critères réfléchis. Dans un premier temps, il est important de noter que deux numéros consécutifs ne sont jamais placés côte à côte. Ensuite, chaque numéro NOIR est systématiquement encadré par deux numéros ROUGE. Il est également intéressant de souligner que deux numéros MANQUE ne se côtoient jamais, excepté pour les numéros 5 et 10, et qu'il en est de même pour les numéros PASSE, sans aucune exception. Enfin, les numéros PAIR et IMPAIR viennent s'alternent, mais cela ne se produit que 21 fois sur un total de 35, un détail crucial à prendre en compte lors de la mise.

Une observation encore plus fascinante peut être faite : si l'on considère le zéro comme le Nord, le cylindre peut être judicieusement divisé en deux groupes représentant chacun 18 numéros, orientés respectivement à l'Est et à l'Ouest, dont la somme est exactement égale à 333. Ce phénomène ne résulte pas du hasard, mais bien de l'intention manifeste des concepteurs de la roulette de créer un équilibre prévalent. Une question légitime se pose : cette disposition a-t-elle une réelle signification ? En réalité, tant que la roulette est mécaniquement bien conçue, même une répartition équitable en ROUGE et NOIR ne modifierait en rien l’aléatoire caractéristique de cette roulette parfaite. Cela dit, si des défauts mineurs, tels que des déséquilibres ou des rugosités, venaient à favoriser une section du cylindre, cette disposition pourrait en atténuer les effets indésirables.

En se penchant sur la table des mises, qui peut sembler complexe de prime abord, on découvre qu'elle offre une grande variété de jeux. Cela explique sans doute pourquoi la roulette est souvent plébiscitée par les joueurs, notamment en comparaison avec la boule (roulette à neuf numéros).

	Types de mise	Nombre de numéros	Gains
Chances simples	Noir	18	1
	Rouge	18	1
	Impair	18	1
	Pair	18	1
	Passe	18	1
	Manque	18	1
Chances multiples	Le plein	1	35
	Le cheval	2	17
	La transversale	3	11
	Le carré	4	8
	Le sixain	6	5
	La douzaine ou la colonne	12	2
	24 numéros	24	1/2

> Voir le placement des mises sur le tapis de la roulette

Examinons maintenant les divers jeux possibles qu'un joueur peut envisager avec une seule mise, en commençant par les chances simples, qui incluent ROUGE, NOIR, PAIR, IMPAIR, PASSE et MANQUE. Dans ce cas, le joueur s'attaque à 18 numéros et peut espérer réaliser un bénéfice équivalent à deux fois sa mise. Ensuite, nous avons les chances multiples, telles que le numéro plein où l'on mise sur un unique numéro, le cheval où l'on place sa mise en croisé sur deux numéros, la transversale pleine où le joueur mise sur le bord d'une bande de trois numéros horizontaux, le carré qui se joue en plaçant sa mise à l'intersection de quatre numéros, et enfin la transversale simple (ou sixain) où le joueur dispose sa mise sur la connexion entre deux bandes comprenant chacune trois numéros horizontaux. De plus, il est possible de miser sur 12 numéros, que ce soit en colonne, ou en prenant les numéros de 1 à 11, 18 à 24, et 25 à 36 en utilisant les cases du bas de la table des mises. Pour ceux qui souhaitent une approche plus risquée, il y a également la possibilité de miser sur 24 numéros en plaçant sa mise sur les cases de jeux qui représentent 12 numéros.

Bien qu'il existe une multitude de possibilités, il est crucial de noter que tous les jeux envisageables avec une seule mise ne peuvent pas être réalisés. Ainsi, dans le cas des chevaux, on peut estimer qu'il y a 36 X 37 = 1332 chevaux envisageables, mais seulement 60 peuvent être effectivement joués avec une seule mise. Cela nous laisse néanmoins 161 formes de jeu avec une seule mise, offrant aux joueurs une vaste gamme d'options.

A chaque tour de roulette, le croupier est chargé d'annoncer le numéro gagnant ainsi que les chances simples gagnantes, par exemple : 1, NOIR, IMPAIR et MANQUE. Les gains sont ensuite attribués selon le tableau mentionné précédemment pour les chances multiples.

Dans la pratique, le croupier paie généralement seulement le complément par rapport à la mise initiale sur le tapis, c'est-à-dire que si un joueur mise sur un numéro, le croupier paie 35 mises tout en permettant au joueur de récupérer sa mise sur le tapis, ce que certains joueurs novices omettent parfois de prendre en compte. Constatons également qu'avec une mise portant sur 24 numéros, puisque le paiement s'élève à 1,5 fois la mise, il est nécessaire pour le joueur de placer deux mises minimales pour espérer un paiement (et il existe effectivement une mise minimale). Pour ce qui est des chances simples, la sortie du zéro implique des conséquences spécifiques que nous aborderons ultérieurement dans nos réflexions.

L’espérance mathématique de gain

L'une des premières questions que devrait se poser un joueur lorsqu'il s'engage dans un jeu de hasard est de déterminer quelle est l'espérance (mathématique) de gain. En d'autres termes, il s'agit de calculer le produit du gain éventuel par la probabilité associée à la réalisation de ce gain. Si, pour une mise de un euro, cette espérance atteint 1, cela signifie que le jeu est équitable. Si elle est supérieure à 1, alors le joueur bénéficie d'un avantage; et si elle est inférieure à 1, c'est la maison de jeux qui l'emporte.

Considérons le cas d'une mise sur un numéro de roulette. En cas de victoire, le joueur récolte 36 euros mais il a seulement une chance sur 37 de gagner. Par conséquent, l'espérance mathématique se calcule alors comme 36/37. L'écart à 1, soit 1/37, est souvent désigné comme « l'impôt du jeu » ou la part du casino, représentant ainsi 2,7 pour cent de la mise. Une manière alternative d'évaluer cet impôt est d'imaginer un joueur qui, par curiosité, miserait un euro sur chaque numéro. De ce fait, il serait sûr de gagner quelque chose, mais analysons son bilan après le coup : il aura misé 37 euros au total sur le tapis, recevra 36 euros de retour, et perdra ainsi un euro, soit 1/37 de sa mise initiale.

Cette règle d'impôt varie-t-elle selon la mise choisie ? En réalité, non ! Pour convaincre qu'il est constant, prenons l'exemple d'un jeu sur un carré : en cas de gain, le joueur touche neuf fois sa mise, mais il a 4/37 de chances de gagner, d'où l'espérance mathématique de 4/37 X 9 = 36/37, identique à celle du jeu sur un numéro. Cela démontre ainsi la constance des attentes, quel que soit le type de mise.

Poursuivons avec les chances simples, où se trouve une particularité : si le zéro sort, alors les chances simples sont mises « en prison », ce qui signifie que les mises sont conservées sur le tapis et reportées à la partie suivante (il est cependant possible de modifier son approche sur les mises simples pour la boule suivante). Au tour suivant, si la chance simple gagne, le joueur a la possibilité de reprendre sa mise, mais sans gain associé; en revanche, si la chance ne se réalise pas, c'est la maison qui s'empare de la mise. Si le zéro est tiré deux fois consécutivement, les mises seront emprisonnées pour les deux tours et ne seront récupérables qu'en cas de victoire consécutive. Sur la table de mise, on ne prévoit que trois emprisonnements, car une série de quatre zéros est considérée comme très rare.

Quelle est donc l'espérance mathématique d'un jeu sur une chance simple ? Pour simplifier nos calculs, nous supposerons que le zéro ne sort pas deux fois de suite, événement qui n'arrive qu'une fois sur 37 X 37, soit 1369, et cette approximation concerne de manière négligeable nos résultats. Lors du premier coup, il est dépendant des 18 chances sur 37 de gagner deux mises. Si le zéro sort (1 chance sur 37), il y a une chance sur deux (selon notre hypothèse excluant deux zéros consécutifs) de récupérer sa mise, ce qui nous conduit à calculer l'espérance mathématique comme suit : E= 18/37 X 2 + 1 X 1/37 X 1/2 = 73/74, indiquant ainsi qu'en ce cas, l'impôt du jeu est de 1/74, soit 1,35 pour cent, restant deux fois moins élevé que sur les chances multiples.

Cependant, il serait imprudent de conclure trop rapidement qu'il est préférable d'opérer sur les chances simples, mais plutôt de se rappeler que l'intérêt du casino demeure que les joueurs se dirigent vers les chances multiples.

Comment nos chances de gagner évoluent-elles au fil des parties ? Si je joue un coup sur un numéro, j'ai 36/37 de chances de ne pas gagner. Maintenant, si je décide de jouer deux coups consécutifs, j'ai encore 36/37 de chances de ne pas gagner au premier, ainsi qu'une probabilité similaire pour le second. Donc ma probabilité de perdre lors des deux coups successifs s'établit à (36/37)², ce qui est, bien entendu, plus faible. Plus généralement, en jouant n parties, j'ai (36/37)ⁿ de chances de n'obtenir aucun gain, me laissant ainsi 1 - (36/37)ⁿ comme probabilité de gagner au moins une fois. Cette logique peut être appliquée à toutes les autres chances multiples, en adaptant les probabilités comme il se doit, d'où l'intérêt d'illustrer graphiquement ces résultats, comme cela est démontré ci-après.

Probabilité de gagner au moins une fois sur les différentes chances de la roulette en n coups :

Probabilité à la roulette

En se penchant sur ce graphique, quelques observations s'imposent : pour accroître vos chances à une sur deux d'obtenir au moins une victoire sur un numéro, il est nécessaire de jouer en moyenne 25 parties. Pour atteindre une quasi-certitude d'obtenir au moins un gain sur un numéro (c'est-à-dire à 99 chances sur 100), vous devrez composer avec 170 coups, engendrant ainsi le risque de miser 170 euros pour espérer un bénéfice de 36 euros ! Si vous n'êtes pas enclin à cette audace, opter pour le sixain pourrait vous récompenser plus rapidement, avec seulement quatre coups en moyenne pour obtenir une chance sur deux d'un gain au moins, et environ 26 coups pour une quasi-certitude. Cependant, il convient de garder en tête que les gains (ainsi que les pertes) seront naturellement plus modestes. Tous ces calculs nous renseignent sur la probabilité d'obtenir au moins une victoire, tout en englobant aussi les probabilités de gains uniques, doubles, etc.

En parvenant à modifier ces calculs, il est possible d'obtenir la probabilité de remporter k fois exactement en n parties. Soit p la probabilité de gagner lors d'une partie et q, correspondant à 1 - p, la probabilité de perte. À titre d'exemple, la probabilité de gagner une fois exactement en n parties est proportionnelle à la chance de gagner une fois (probabilité p) et de perdre n - 1 fois (probabilité q^n-1). Ainsi, la probabilité devient pq^n-1, mais ce gain peut se réaliser lors de n moments différents, donnant lieu à une probabilité de npq^n-1. Pour gagner deux fois exactement en n coups, il serait nécessaire d'obtenir 2 gains et n - 2 pertes, avec une probabilité décrite par p²q^n-2 ; ceci peut s'incarner via C²_n = n(n-1)/2 façons de réaliser cela (soit le nombre de façons de choisir les deux coups gagnants parmi les n coups joués). Ainsi, la probabilité de gagner k fois exactement sur n coups se formule comme suit : Pk = C^k_np^kq^n-k

La figure suivante représente l'évolution de cette probabilité dans le cadre d'un jeu sur un numéro (p = 1/37) pour k = 1, 2, 3 et 4.

Probabilité de gagner exactement 1, 2, 3 ou 4 fois sur un numéro plein à la roulette :

Probabilité à la roulette

Il est essentiel de noter que toutes ces courbes commencent par un accroissement manifeste avant d'atteindre un maximum, ce qui se comprend aisément. Plus le nombre de parties augmente, plus les chances de remporter plusieurs gains augmentent, entraînant de manière concomitante la diminution de la probabilité de gagner un nombre restreint de fois.

Fort de cette formule, nous pouvons examiner le développement d'un joueur de fond qui mise constamment la même somme sans rater une seule partie. Quel serait alors sa probabilité de sortir gagnant après 2n parties s'il choisissait de jouer sur les chances simples ? Pour cette exploration, nous négligerons l'impact du zéro, en admettant que toute sortie de celui-ci se traduise par une perte pour le joueur. Sa probabilité p de gains à chaque coup se chiffre ainsi à 18/37. Pour que ce joueur encaisse une perte après 2n coups, il faut qu'il n'ait pas gagné plus de n-1 fois. La probabilité de ne pas avoir gagné plus de n-1 fois se définit alors comme la somme des probabilités d'avoir gagné zéro fois, une fois, deux fois, etc., jusqu'à n-1 fois, ce qui, à l'aide de la formule précédente, nous donne :

P = ∑^n-1_k=0 C^k_2n p^k q^2n-k

Lorsque n devient relativement important, le calcul de cette somme se révèle être un véritable défi. C'est pourquoi, au XVIIIe siècle, des mathématiciens comme Stirling ont élaboré des formules approximatives pour évaluer cette somme. Ces formules dépassent l'objet de cet article, mais nous ne donnerons que le résultat résumé dans le tableau ci-dessous.

Probabilité de perdre aux chances simples :

Nombre de coups joués	Probabilité de perdre aux chances simples
1	0,514
50	0,520
100	0,568
500	0,698
2 500	0,903
7 500	0,989
15 000	0,992
20 000	0,999

À la lecture de ce tableau, il est manifeste que sur 500 coups, les joueurs présentent déjà près de trois chances sur quatre d'éprouver des pertes, et plus le nombre de parties augmente, plus la probabilité de perdre se rapproche inexorablement de 1. Cela constitue l'un des aspects du phénomène de la ruine des joueurs, sujet sur lequel nous reviendrons ultérieurement. Nous aurions également pu effectuer le raisonnement en ce qui concerne le jeu sur numéros pleins, où l'on observe que la probabilité de perte commence par diminuer, atteint un minimum puis tend vers 1, mais avec une bien plus grande lenteur, ce que nous démontrerons sous un angle différent un peu plus loin.

Abandonnons les perdants pour nous concentrer uniquement sur les chanceux. Sur 2n parties de chance simple, les chanceux sont ceux qui ont gagné n + 1, n + 2, ... jusqu'à 2n fois.

Appelons "chance normale" le nombre k tel que la moitié des joueurs chanceux ont gagné plus, de sorte que l'autre moitié a gagné moins. Calculons ce nombre. Il existe Cⁿ⁺¹_2n façons de gagner n + 1 fois, Cⁿ⁺²_2n de gagner n + 2 fois, etc. Au total, cela donne : ∑^n+k_i=n+1 Cⁱ_2n façons d'être chanceux. Par ailleurs, le nombre de façons qu'un joueur chanceux a de gagner au plus n + k fois devient : ∑^n+k_i=n+1 Cⁱ_2n

La probabilité d'avoir gagné au plus n + k fois se définit donc comme le rapport de ces deux sommes, ce qui nous permet de déterminer la valeur k telle que cette probabilité atteigne 0,5. Encore une fois, nous ne fournirons que les résultats résumés dans le tableau ci-dessous :

Nombre de coups joués	Chance normale
200	8
800	16
3200	32
6400	64

Ainsi, sur 200 parties de chances simples, un gain de huit mises correspond à une chance normale, tandis qu'une perte de huit mises serait qualifiée de "guigne normale". Ce qui est particulièrement intéressant dans ce tableau, c'est que la chance normale croît proportionnellement au nombre de parties, mais seulement en tant que racine carrée du nombre total de parties jouées. Cela révèle que l'obstination ne conduit pas nécessairement à des récompenses significatives, d'autant plus qu'il faut toujours faire partie des chanceux ! De plus, nous n'avons pas pris en compte l'impôt du jeu, résultant de la sortie moyenne du zéro tous les 37 coups, qui "absorbe" une mise en moyenne tous les 74 coups. Ainsi, à partir de 3100 coups, l'impôt du jeu (43 mises) a déjà dépassé la "chance normale".

Réduire les pertes

Maintenant que nous avons établi que si l'on joue longtemps, il faut s'attendre à perdre, pouvons-nous retarder cette perte en fonction de notre façon de jouer ? Pour répondre à cette question, examinons les deux cas extrêmes. D'un côté, se trouve un groupe de joueurs qui opte pour des mises sur les chances simples, tandis que de l'autre, un groupe choisissant de miser sur un numéro plein. La probabilité de gagner k fois lors de n parties est, comme nous l'avons vu, C^k_np^kq^n-k, avec p = 18/37 pour les mises simples et p = 1/37 pour le numéro plein. En connaissant n, p et q, nous sommes à même de calculer les nombres i₁ et i₂ tels que p soit respectivement égal à 0,25 ou 0,75.

Pour nos deux groupes de joueurs, ces nombres i₁ et i₂ correspondraient au nombre de parties gagnées par au moins 75 pour cent des joueurs, et au maximum par 25 pour cent des joueurs. En d'autres termes, le bilan de 50 pour cent des joueurs sera compris entre n - Ri₁ et n - Ri₂ mises, où R est le gain du jeu choisi (2 pour les mises simples et 36 sur le numéro plein). Les résultats de ce calcul se trouvent présentés dans le tableau ci-dessous :

Après	Bilan de 50 pour cent des joueurs
	Chance simple	Numéro plein
100 coups	entre - 10 et + 4	entre - 28 et + 44
500 coups	entre - 28 et + 2