Exercice proba 22page 230 : Roulette au casino et analyse des probabilités

La roulette est un jeu emblématique des casinos, captivant des millions de joueurs en quête d'excitation et de gains. Cet article se penche en profondeur sur un exercice de mathématiques sur les probabilités appliquées à ce jeu fascinant, explorant les enjeux financiers, les pertes potentielles et la loi de probabilité qui régit ceux-ci.

Présentation du jeu

À la roulette, chaque joueur place ses mises sur un numéro spécifique ou sur une combinaison de numéros. La roulette européenne comporte des numéros allant de 0 à 36. Un aspect clé de ce jeu est l'analyse des probabilités, qui permet aux joueurs de comprendre les chances d'emporter un gain.

Énoncé de l'exercice

Considérons la situation suivante : un joueur engage 5 euros sur la roulette. Les règles du jeu sont énoncées comme suit :

• S'il tombe sur un nombre pair (18 cas possibles), il recouvre ses 5 euros et remporte 5 euros de bénéfice.
• S'il tombe sur un nombre impair (18 cas possibles), il perd ses 5 euros.
• S'il obtient le 0 (1 cas possible), il remporte 170 euros.

Nous notons X comme la variable aléatoire qui représente le gain net du joueur. Nous allons maintenant déterminer la loi de probabilité de X.

Détermination de la loi de probabilité

Nous examinons les trois scénarios possibles pour la variable X :

1. Pour un nombre pair (P(X = 5)) :

   Il existe 18 numéros pairs parmi les 37 total, incluant le 0. Ainsi, la probabilité d'obtenir un nombre pair est :

   P(X = 5) = 18/37.

2. Pour un nombre impair (P(X = -5)) :

   Il y a également 18 numéros impairs. Par conséquent, la probabilité d'obtenir un nombre impair est :

   P(X = -5) = 18/37.

3. Pour le 0 (P(X = 170)) :

   La probabilité d'obtenir le 0 est 1/37, impliquant :

   P(X = 170) = 1/37.

Nous pourrons résumer la loi de probabilité de X dans le tableau ci-dessous :

Valeur de X (xi)	-5	5	170
P(X = xi)	18/37	18/37	1/37

Calcul de l'espérance de X

Pour évaluer l'attrait du jeu, calculons l'espérance E(X) :

L'espérance se calcule de la manière suivante :

Calcul de l'espérance

Nous avons alors :

E(X) = -5 × (18/37) + 5 × (18/37) + 170 × (1/37)

Procédons au calcul de chaque terme :

E(X) = -90/37 + 90/37 + 170/37

E(X) = 170/37

En fin de compte, E(X) ≈ 4,59 euros.

Le jeu est-il favorable au joueur ?

Nous remarquons que l'espérance E(X) est positive. Cela indique que, sur le long terme, le joueur peut s'attendre à un gain lorsque celui-ci participe à ce type de jeu de roulette. Ce constat positionne la roulette comme un jeu potentiellement bénéfique pour le joueur dans le cadre de cette analyse.

Conclusion

La roulette est un jeu d'argent qui, bien qu'il repose sur le hasard, peut être décrit et analysé à travers les mathématiques et les probabilités. Cet exercice démontre comment établir une loi de probabilité, calculer l'espérance et déterminer si le jeu est en faveur du joueur. En assimilant ces notions, les joueurs peuvent faire des choix plus judicieux lorsqu'ils s'engagent dans de tels jeux au casino.